선형대수학(Linear Algebra) 개요

선형대수학은 벡터, 행렬, 선형 변환 등을 연구하는 수학 분야로, 데이터 분석, 기계 학습, 컴퓨터 그래픽스 등 다양한 분야에서 활용된다.

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1. 기본 개념

1. 스칼라(Scalar)
   • 하나의 수 (예: 3, -1, 0.5)
   • 선형대수에서 크기만 있는 값
2. 벡터(Vector)
   • 크기와 방향을 가지는 값의 집합
   • n차원 공간에서 한 점을 나타낼 수 있음
3. 행렬(Matrix)
   • 숫자가 사각형 형태로 배열된 것
   • 예: A=[1234]A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}A=[13​24​]
   • 벡터의 집합을 표현하거나 변환 연산을 수행하는 데 사용
4. 텐서(Tensor)
   • 행렬보다 더 고차원의 다차원 배열
   • 기계학습에서는 다차원 데이터를 표현하는 데 사용

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2. 벡터 연산

1. 벡터 덧셈과 뺄셈
   • 같은 차원의 벡터끼리 더하거나 뺄 수 있음
2. 스칼라 곱
   • 벡터에 스칼라(숫자)를 곱하면 크기만 변함
3. 내적(Dot Product, 스칼라 곱)
   • 두 벡터의 유사도를 측정하는 연산
   • 결과는 스칼라 값
4. 외적(Cross Product, 벡터 곱, 3차원에서 사용)
   • 두 벡터에 대해 새로운 벡터를 생성​​
   • 결과는 또 다른 벡터

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3. 행렬 연산

1. 행렬 덧셈과 뺄셈
   • 같은 크기의 행렬끼리만 연산 가능
2. 행렬 곱셈(Matrix Multiplication)
   • 행렬 AAA와 BBB를 곱하려면 AAA의 열 개수와 BBB의 행 개수가 같아야 함
3. 전치 행렬(Transpose, ATA^TAT)
   • 행과 열을 바꾸는 연산
4. 역행렬(Inverse Matrix, A−1A^{-1}A−1)
   • 어떤 행렬 AAA에 대해 A×A−1=IA \times A^{-1} = IA×A−1=I 를 만족하는 행렬 A−1A^{-1}A−1를 찾는 것
   • 역행렬이 존재하려면 행렬이 정사각 행렬(행 개수 = 열 개수) 이어야 하고, 행렬식(Determinant, det(A))이 0이 아니어야 함

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4. 선형 변환(Linear Transformation)

1. 행렬을 이용한 변환
   • 벡터에 행렬을 곱하면 새로운 벡터로 변환됨
   • 예: 회전, 확대/축소, 반사 변환 등
2. 고유값(Eigenvalue)과 고유벡터(Eigenvector)
   • 변환 후에도 방향이 변하지 않는 특별한 벡터
   • 고유값 방정식: Av=λvA v = \lambda vAv=λv 여기서 vvv는 고유벡터, λ\lambdaλ는 고유값

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5. 응용 분야

1. 컴퓨터 그래픽스
   • 3D 모델 변환, 회전, 확대/축소
2. 기계학습(Machine Learning)과 데이터 과학
   • PCA(주성분 분석), 신경망의 가중치 행렬, 추천 시스템 등에서 활용
3. 물리학과 공학
   • 양자역학, 전기회로 분석, 구조 해석
4. 경제학과 통계학
   • 회귀 분석, 시계열 분석

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정리

1. 벡터와 행렬은 선형대수학의 핵심 요소
2. 벡터 연산(덧셈, 내적, 외적), 행렬 연산(곱셈, 전치, 역행렬) 이해 필요
3. 고유값, 고유벡터 개념은 선형 변환에서 중요
4. PCA, 추천 시스템, 기계학습 등 다양한 응용 가능

선형대수학은 데이터를 다루는 거의 모든 분야에서 필수적인 개념이므로, 기본 연산과 개념을 확실히 이해하는 것이 중요하다.